一、 正态分布 是指什么
正态分布（英文：Normal distribution）又称为常态分布或高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
二、正态分布的发展
正态分布概念是由法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre）于1733年首次提出的，后由德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了"高斯分布"的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 [1] 但德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓"元误差学说"——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。
其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的"元误差" 之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按棣莫弗的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性） 为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。
三、正态分布的定理
由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。
若
服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）
四、正态分布的定义
1、一维正态分布
若随机变量 服从一个位置参数为 、尺度参数为 的概率分布，且其概率密度函数为：
则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作 ，读作X服从 ，或X服从正态分布。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
本词条的正态分布是一维正态分布，此外多维正态分布参见"二维正态分布"。
2、标准正态分布
当 时，正态分布就成为标准正态分布：
五、正态分布的特征
1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
六、正态分布的应用
1、综述
(1)、估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
(2)、制定参考值范围
● 正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
●百分位数法 常用于偏态分布的指标。表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
(3)、质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以 作为上、下警戒值，以 作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。
(4)、正态分布是许多统计方法的理论基础。检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
2、频数分布
例1.10 某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高（cm），其均数=172.70cm，标准差s=4.01cm，①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。
本例，μ、σ未知但样本含量n较大，按式（3.1）用样本均数X和标准差S分别代替μ和σ，求得u值，u=（168-172.70）/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到-1.1，表的上方找到0.07，两者相交处为0.1210=12.10%。该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数12.10%。其它计算结果见表3。
表3 100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布
100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布
3、综合素质研究
教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布。因而正常的考试成绩分布应基本服从正态分布。考试分析要求绘制出学生成绩分布的直方图，以"中间高、两头低"来衡量成绩符合正态分布的程度。其评价标准认为：考生成绩分布情况直方图，基本呈正态曲线状，属于好，如果略呈正（负）态状，属于中等，如果呈严重偏态或无规律，就是差的。
从概率统计规律看，"正常的考试成绩分布应基本服从正态分布"是正确的。但是必须考虑人与物的本质不同，以及教育的有所作为可以使"随机"受到干预，用曲线或直方图的形状来评价考试成绩就有失偏颇。许多教育专家（如上海顾泠沅、美国布鲁姆等）已经通过实践论证，教育是可以大有作为的，可以做到大多数学生及格，而且多数学生可以得高分，考试成绩曲线是偏正态分布的。但是长期受到"中间高、两头低"标准的影响，限制了教师的作为，抑制了多数学生能够学好的信心。这是很大的误会。通常正态曲线有一条对称轴。当某个分数（或分数段）的考生人数最多时，对应曲线的最高点，是曲线的顶点。该分数值在横轴上的对应点与顶点连接的线段就是该正态曲线的对称轴。考生人数最多的值是峰值。我们注意到，成绩曲线或直方图实际上很少对称的，称之为峰线更合适。
4、医学参考值
某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。
医学参考值范围亦称医学正常值范围。它是指所谓"正常人"的解剖、生理、生化等指标的波动范围。制定正常值范围时，首先要确定一批样本含量足够大的"正常人"，所谓"正常人"不是指"健康人"，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群；其次需根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，如80%，90%，95%和99%，常用95%；根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，如白细胞计数过高过低皆属不正常须确定双侧界值，又如肝功中转氨酶过高属不正常须确定单侧上界，肺活量过低属不正常须确定单侧下界。另外，还要根据资料的分布特点，选用恰当的计算方法。常用方法有：
(1)、正态分布法：适用于正态或近似正态分布的资料。
双侧界值：X+-u（u）S单侧上界：X+u（u）S，或单侧下界：X-u（u）S
(2)、对数正态分布法：适用于对数正态分布资料。
双侧界值：lg-1[X（lgx）+-u（u）S（lgx）]；单侧上界：lg-1[X（lgx）+u（u）S（lgx）]，或单侧下界：lg-1[X（lgx）-u（u）S（lgx）]。
常用u值可根据要求由表4查出。
(3)、百分位数法：常用于偏态分布资料以及资料中一端或两端无确切数值的资料。
双侧界值：P2.5和P97.5；单侧上界：P95，或单侧下界：P5。
表4常用u值表
常用u值表
统计的理论基础：
如t分布、F分布、分布都是在正态分布的基础上推导出来的，u检验也是以正态分布为基础的。此外，t分布、二项分布、Poisson分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。
5、员工绩效
大部分员工的业绩，都是一般的，做得特别好的非常少，做得特别差的也不多见。这就是为什么绩效管理领域，会用"活力曲线"来考核业绩。
什么是"活力曲线"呢？
员工流失率太高显然不好。据计算，招聘的过程花费，大概是这名员工年薪的50％。过高的员工流失率，意味着失控的招聘成本。离职的业绩损失，大概是这名员工年薪的30%-400%。过高的员工流失率，更意味着巨大的业绩损失。
员工流失率太低也不好。极低的员工流失率，通常来自对低绩效的容忍。允许绩效差的员工留在团队，损失的不仅是工资，而是本应获得的业绩。另外，绩效差的员工通常更不愿离开，因为他可能找不到另一份工作。为了安全，他会想办法挤走绩效好的人，你的团队会越来越没有战斗力。
通用电气前CEO杰克·韦尔奇认为，大家很容易认识到员工流失率太高的问题，却很难认识到流失率太低的危害，所以，他提出了著名的"末位淘汰制"（也叫"活力曲线"），他把员工分为：
20%的优秀员工，70%的中等员工，和10%的末位员工。 末位员工必须提升自己，或者转岗，或者面临淘汰。
这个制度，被认为是给通用电气带来无限活力的法宝之一。
所以，以后上班别偷懒，小心被老板裁掉。害怕吧？
符合正态分布的商业现象
七、数据正态分布检验 Q-Q图
要观察某一属性的一组数据是否符合正态分布，可以有两种方法（目前我知道这两种，并且这两种方法只是直观观察，不是定量的正态分布检验）：
1：在spss(Statistical Package for the Social Sciences，即"社会科学统计软件包")里的基本统计分析功能里的频数统计功能里有对某个变量各个观测值的频数直方图中可以选择绘制正态曲线。具体如下：Analyze-----Descriptive Statistics-----Frequencies，打开频数统计对话框，在Statistics里可以选择获得各种描述性的统计量，如：均值、方差、分位数、峰度、 标准差等各种描述性统计量。在Charts里可以选择显示的图形类型，其中Histograms选项为柱状图也就是我们说的直方图，同时可以选择是否绘制 该组数据的正态曲线（With norma curve），这样我们可以直观观察该组数据是否大致符合正态分布。如下图：
正态分布图
从上图中可以看出，该组数据基本符合正态分布。
2：正态分布的Q-Q图：在spss里的基本统计分析功能里的探索性分析里面可以通过观察数据的q-q图来判断数据是否服从正态分布。
具体步骤如下：Analyze-----Descriptive Statistics-----Explore打开对话框，选择Plots选项，选择Normality plots with tests选项，可以绘制该组数据的q-q图。图的横坐标为改变量的观测值，纵坐标为分位数。若该组数据服从正态分布，则图中的点应该靠近图中直线。
纵坐标为分位数，是根据分布函数公式F(x)=i/n+1得出的.i为把一组数从小到大排序后第i个数据的位置，n为样本容量。若该数组服从正态分布则其q-q图应该与理论的q-q图（也就是图中的直线）基本符合。对于理论的标准正态分布，其q-q图为y=x直线。非标准正态分布的斜率为样本标准差，截距为样本均值。
如下图：
spss正态分布Q-Q图
总结
优化猩：正态分布是商业界最常见的一种分布。当影响结果（或者成功）的因素特别多，没有哪个因素可以完全左右结果时，这个结果通常就呈现正态分布。
参考链接：
正态分布
正态分布
怎样用通俗易懂的文字解释正态分布及其意义
修改于2023-12-09
大数定理以及中心极限定理的的实际应用谁知道啊？？
大数定律：大量样本的统计值的平均数稳定于某一值。 如频率稳定于概率，样本的均值接近总体均值，最常用的例子是掷硬币，抛一万次正面出现频率0.6，又做一万次正面频率0.48，等等。 不断向0.5逼近，并稳定于0.5，使得频率稳定于概率。 在看似偶然的事件中显示出规律。 中心极限定理：样本足够大时，样本服从正态分布（即抛物线形状），例如对一千居民收入随机调查，发现无论低收入还是高收入都是少数，而中等收入占多数，即为正态分布。 大数定律指用于单一特征值，中心极限定理则表明变量在分布上的特征。 无论大数定律还是中心极限定理都表明在偶然性中可以发现必然性，可以把这两个定理看作是哲学可知论的数学论证。
在进行TTEST时Excel是这样注释的TTEST(array1,array2,tails,type)
TTEST 函数本文介绍 Microsoft Excel 中 TTEST函数的公式语法和用法。 返回与学生 t 检验相关的概率。 使用函数 TTEST 确定两个样本是否可能来自两个具有相同平均值的基础总体。 重要 此函数已被一个或多个新函数取代，这些新函数可以提供更高的准确度，而且它们的名称可以更好地反映出其用途。 仍然提供此函数是为了保持与 Excel 早期版本的兼容性。 但是，如果不需要后向兼容性，则应考虑从现在开始使用新函数，因为它们可以更加准确地描述其功能。 有关新函数的详细信息，请参阅 函数。 语法TTEST(array1,array2,tails,type)TTEST 函数语法具有下列参数：Array1必需。 第一个数据集。 Array2必需。 第二个数据集。 tails必需。 指定分布尾数。 如果 tails = 1，则 TTEST 使用单尾分布。 如果 tails = 2，则 TTEST 使用双尾分布。 Type必需。 要执行的 t 检验的类型。 如果 type 等于检验方法1 成对2 双样本等方差假设3双样本异方差假设说明如果 array1 和 array2 的数据点个数不同，且 type = 1（成对），函数 TTEST 返回错误值 #N/A。 参数 tails 和 type 将被截尾取整。 如果 tails 或 type 是非数值的，则 TTEST 返回 错误值 #VALUE!。 如果 tails 是除 1 或 2 之外的任何值，则 TTEST 返回 错误值 #NUM!。 TTEST 使用 array1 和 array2 中的数据计算非负 t 统计值。 如果 tails=1，在假设 array1 和 array2 是具有相同平均值的总体中的样本的情况下，TTEST 返回较高 t 统计值的概率。 tails=2 时，TTEST 返回的值是 tails=1 时返回值的两倍，并对应假设“总体平均值相同”时较高的 t 统计绝对值的概率。
考研新数3考纲？
2009数学三大纲 考试科目 高等数学、线性代数、概率论与数理统计 试卷结构 一、试卷满分及答题时间 试卷满分为150分,考试时间为180分钟 二、内容比例 高等数学 约56% 线性代数 约22% 概率论与数理统计 约22% 三、题型结构 单项选择题 8小题,每小题4分,共32分 填空题 6小题,每小题4分,共24分 解答题(包括证明题) 9小题,共94分 微积分 一． 函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5. 了解数列和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。 。 6. 了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 7. 理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法，了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 8. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 本章考查焦点: 1.极限的计算. 2.函数连续性的性质及间断点的分类. 二． 一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 考试要求 1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数。 3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4. 了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 5. 理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，掌握这四个定理的简单应用。 6. 会用洛必达法则求极限。 7. 掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用。 8. 会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a，b）内，设函数f(x)具有二阶导数。 当 时，f(x)的图形是凹的；当 时，f(x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线。 9. 会描绘简单函数的图形。 本章考查焦点: 1.洛必达法则求极限. 2.导数的应用. 三． 一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用 考试要求 1. 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分换元积分与分部积分法。 2. 了解定积分的概念和基本性质及定积分中值定理，理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法。 3. 会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题。 4. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。 本章考查焦点: 1.用积分表达和计算几何量和物理量. 2.积分上限的函数的导数. 3.积分中值定理. 4.积分的计算. 四． 多元函数微积分学 考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念 、基本性质与计算 无界区域上简单的反常二重积分 考试要求 1. 了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。 2. 了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。 3. 了解多元函数偏导数和全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求全微分，会求多元隐函数的偏导数。 4. 了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 5. 了解二重积分的概念和基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算。 本章考查焦点: 1.多元复合函数的一阶、二阶偏导数. 2.某些简单应用问题的最大值和最小值. 3.二重积分的计算. 五． 无穷级数【原数学4新增加的内容，原数学3不变】 考试内容 常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 考试要求 1. 了解项级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。 2. 了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。 3. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法。 4. 会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。 5. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数。 6. 了解 的麦克劳林（Maclaurin）展开式。 本章考查焦点: 1.函数的幂级数展开,级数的收敛性质. 2.幂级数的和函数. 六． 常微分方程 考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 【原数学4新增加的内容，原数学3不变】 二阶常系数齐次线性微分方程 【原数学4新增加的内容，原数学3不变】 及简单的非齐次线性微分方程 【原数学4新增加的内容，原数学3不变】 差分与差分方程的概念 【原数学4新增加的内容，原数学3不变】 差分方程的特解和通解 【原数学4新增加的内容，原数学3不变】 一阶常系数线性差分方程 【原数学4新增加的内容，原数学3不变】 微分方程的简单应用 【原数学4新增加的内容，原数学3不变】 考试要求 1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。 2. 掌握变量可分离的微分方程及、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。 3. 会解二阶常系数齐次线性微分方程。 4. 了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程。 5. 了解差分与差分方程及其特解与通解等概念 6. 了解一阶常系数线性差分方程的求解方法。 7. 会用微分方程求解简单的经济应用问题。 本章考查焦点: 常微分方程的解法及简单应用. 线性代数 一． 行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 考试要求 1. 了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2. 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。 本章考查焦点: 很少直接考查行列式,总是蕴含在矩阵的有关问题中 二． 矩阵 考试内容 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算 考试要求 1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。 2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。 3. 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。 4. 了解矩阵初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。 5. 了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。 本章考查焦点: 矩阵的计算及其秩的计算方法、矩阵的逆. 三． 向量 考试内容 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 考试要求 1. 了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则。 2. 理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。 3. 理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。 4. 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。 5. 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法。 本章考查焦点: 向量组的线性相关性及线性表示. 四． 线性方程组 考试内容 线性方程组的克莱姆（Cramer）法则 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系 非齐次线性方程组的通解 考试要求 1. 会用克莱姆法则解线性方程组。 2. 掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法。 3. 理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。 4. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 5. 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。 本章考查焦点: 1.齐次线性方程组的基础解系和通解的计算. 2非齐次线性方程组解的结构的应用. 五． 矩阵的特征值和特征向量 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵 考试要求 1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法。 2. 理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。 3. 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。 本章考查焦点: 1.矩阵特征值和特征向量的计算. 2.将矩阵相似对角化. 六． 二次型 考试内容 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 考试要求 1． 了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念。 2． 了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形。 3． 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。 本章考查焦点: 合同矩阵,正定矩阵,正定二次型. 概率论与数理统计 一、 随机事件和概率 考试内容 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 考试要求 1． 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。 2． 理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式。 3． 理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 本章考查焦点: 1.全概率公式及贝叶斯公式 2.概率及条件概率,古典型概率 3.概率的基本公式 二、 随机变量及其分布 考试内容 随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 考试要求 1． 理解随机变量的概念，理解分布函数 的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。 2． 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B（n,p）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P（ ）及其应用。 3． 掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。 4． 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a,b）、正态分布N（ ）、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布E（ ）的概率密度为 5． 会求随机变量函数的分布。 本章考查焦点: 几种基本的随机变量函数的性质、正态分布. 三、 多维随机变量及其分布 考试内容 多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量的函数的分布 考试要求 1． 理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质。 2． 理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布。 3． 理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系。 4． 掌握二维均匀分布和二维正态分布N（ ，理解其中参数的概率意义。 5． 会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布。 本章考查焦点: 二维随机变量的联合分布,边缘密度及条件密度的计算. 四、 随机变量的数字特征 考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫不等式 矩、协方差、相关系数及其性质 考试要求 1． 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。 2． 会求随机变量函数的数学期望。 3． 了解切比雪夫不等式. 【由08年的掌握调整为了解】 本章考查焦点: 随机变量的数字特征的计算. 五、 大数定律和中心极限定理 考试内容 切比雪夫（Chebyshev）大数定律 伯努利（Bernoulli）大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre—Laplace）定理 列维—林德伯格（Levy—Lindberg）定理 考试要求 1． 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律） 2． 了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 本章考查焦点: 利用考试内容中的定律进行相关的近似计算. 六、 数理统计的基本概念【原数学4新增加的内容，原数学3不变】 考试内容 总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本矩 分布 t分布 F分布 分位数 正态总体的常用抽样分布 考试要求 1． 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2． 了解产生 变量、t变量和F变量的典型模式；了解标准正态分布、 分布、t分布和F分布的上侧 分位数，会查相应的数值表。 3． 掌握正态总体的样本均值、样本方差及样本矩的抽样分布。 4． 了解经验分布函数的概念和性质。 本章考查焦点: 判断统计量的分布类型,计算统计量的数字特征. 七、 参数估计【原数学4新增加的内容，原数学3内容缩小，并完全去掉了假设检验】 考试内容 点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 考试要求 1． 了解参数的点估计、估计量与估计值的概念。 2． 掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。 本章考查焦点: 1.估计量的评判标准. 2.区间估计的计算.最大似然估计和矩估计的计算.
